Как найти стороны параллелограмма с отношением

Свойства медианы треугольника

Итоговое повторение курса геометрии 7 – 9 класса

При изучении какой-либо темы школьного курса можно отобрать определенный минимум задач, овладев методами решения которых, учащиеся будут в состоянии решить любую задачу на уровне программных требований по изучаемой теме. Предлагаю рассмотреть задачи, которые позволят увидеть взаимосвязи отдельных тем школьного курса математики. Поэтому составленная система задач является эффективным средством повторения, обобщения и систематизации учебного материала в ходе подготовки учащихся к экзамену.

Для сдачи экзамена не лишними будут дополнительные сведения о некоторых элементах треугольника. Рассмотрим свойства медианы треугольника и задачи, при решении которых этими свойствами можно воспользоваться. В предложенных задачах реализуется принцип уровневой дифференциации. Все задачи условно поделены на уровни (уровень указан в скобках после каждого задания).

Вспомним некоторые свойства медианы треугольника

Свойство 1. Докажите, что медиана треугольника ABC, проведённая из вершины A, меньше полусуммы сторон AB и AC.

Доказательство

Отложим на продолжении медианы AM за точку M отрезок MK, равный AM. Тогда в четырёхугольнике ABKC диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Значит, ABKC — параллелограмм. Применяя неравенство треугольника к треугольнику ABK, получим, что

2AM = AK < AB + BK = AB + AC.

Отсюда следует, что

AM < $\displaystyle {\frac{AB + AC}{2”$.

Свойство 2. Медиана рассекает треугольник на два равновеликих.

Доказательство

Проведем из вершины B треугольника ABC медиану BD и высоту BE.Медиана

и заметим, что Площадь

Медиана

      Поскольку отрезок BD является медианой, то

Медиана

что и требовалось доказать.

Свойство 3. Во всяком треугольнике медианы пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины.

Доказательство

Отрезки МА1, МВ1, МС 1 являются медианами соответственно тре-

угольников ВМС, АМС, АМВ, где M –точка пересечения медиан AА1, BВ1, CС1 треугольникаABC.

МедианаСвойство 4. Медианы треугольника делят треугольник на 6 равновеликих треугольников.

Доказательство

Докажем, что площадь каждого из шести треугольников, на которые медианы разбивают треугольник  ABC, равна Медиана площади треугольника ABC. Для этого рассмотрим, например, треугольник AOF и опустим из вершины A перпендикуляр AK на прямую BF .

Медиана

      Тогда

Медиана

      В силу свойства 2,

Медиана

что и требовалось доказать.

Свойство 5. Если в треугольнике медиана совпадает с высотой, то треугольник равнобедренный.

Доказательство

В треугольнике ABC проведем медиану BD, которая по условию также является высотой. Прямоугольные треугольники ABD и CBD равны, т. к. катет BD общий, AD  =  CD по построению. Следовательно, гипотенузы этих треугольников равны как соответственные элементы равных треугольников, т. е. AB  =  BC. Теорема доказана.

Медиана

Свойство 6. Медиана в прямоугольном треугольнике, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.

Доказательство

Медиана      Продолжим медиану CO за точку O до точки D так, чтобы было выполнено равенство CO = OD, и соединим полученную точку D с точками A и B.      Получим четырехугольник ADBC, диагонали которого в точке пересечения делятся пополам.

В силу признака параллелограмма заключаем, что четырехугольник ADBC является параллелограммом, а поскольку полученный параллелограмм содержит прямой угол C, то и все его углы прямые, следовательно, четырехугольник ADBC – прямоугольник. Поскольку диагонали прямоугольника равны, получаем равенства:

Медиана что и требовалось доказать.

Следствия: 1. Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности лежит на середине гипотенузы.

2.  Если в треугольнике длина медианы равна половине длины стороны, к которой она проведена, то этот треугольник – прямоугольный.

ЗАДАЧИ

При решении каждой последующей задачи используются доказанные свойства.

№1 Темы: Удвоение медианы. Сложность: 2+

Признаки и свойства параллелограмма Классы: 8,9

Условие

На продолжении медианы AM треугольника ABC за точку M отложен отрезок MD, равный AM. Докажите, что четырёхугольник ABDC — параллелограмм.


Решение

Воспользуемся одним из признаков параллелограмма. Диагонали четырёхугольника ABDC пересекаются в точке M и делятся ею пополам, поэтому четырёхугольник ABDC — параллелограмм.

Источник

web-сайт http://zadachi. Система задач по геометрии, задача1842

№2 Темы: Удвоение медианы Сумма углов треугольника Сложность: 2+.

. Теорема о внешнем угле. Классы: 8,9

Условие

В треугольнике АВС медиана ВМ в два раза меньше стороны АВ и образует с ней угол 40o. Найдите угол АВС.

http:///show_document.php?id=1693102

Решение

Продлим медиану BM за точку M на ее длину и получим точку D (см. рис. 8.2). Так как AB = 2BM, то AB = BD, то есть треугольник ABD  — равнобедренный. Следовательно,

http:///show_document.php?id=1693104BAD = http:///show_document.php?id=1693104BDA = (180o - 40o) : 2 = 70o.
Четырёхугольник ABCD является параллелограммом, так как его

Получить полный текст

Подписаться на рассылку!

диагонали точкой пересечения делятся пополам. Значит, http:///show_document.php?id=1693104CBD = http:///show_document.php?id=1693104ADB = 70o. Тогда http:///show_document.php?id=1693104ABC = http:///show_document.php?id=1693104ABD + http:///show_document.php?id=1693104CBD = 110o.

Ответ: 110o.

Источник: Окружная олимпиада (Москва), 2009 г, 8 класс

№3 Темы: Удвоение медианы Сложность: 2+.

Признаки и свойства равнобедренного треугольника Классы: 8,9

Теорема о внешнем угле. Центральная симметрия

Условие Докажите, что если в треугольнике медиана и биссектриса совпадают, то треугольник равнобедренный.

Решение

Пусть в треугольнике ABC медиана BD является биссектрисой. Рассмотрим точку B1, симметричную B относительно точки D. Так как D — середина отрезка AC, то четырехугольник ABCB1 — параллелограмм. А так как $ \angle$ABB1 = $ \angle$B1BC = $ \angle$AB1B, то треугольник B1AB равнобедренный и  AB = AB1 = BC.

Источник: Прасолов по планиметрии. Изд. МЦНМО, 2001 г.

№ 4 Темы: Свойства медиан. Центр тяжести треугольника Сложность: 2+.

Построение треугольников по различным элементам Классы: 8,9

Условие С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по стороне и медианам, проведённым к двум другим сторонам.


Решение Воспользуемся свойством: Медианы треугольника делятся в отношении 2:1, считая от вершины.

Построим сначала треугольник по трём сторонам: одна из них — данная, две другие составляют $ {\frac23}$от данных медиан. Построенный треугольник достраиваем до искомого.


Источник: web-сайт http://zadachi.. Система задач по геометрии задача1208

№5 Темы: Удвоение медианы. Сложность:3.

Равные треугольники Признаки равенства. Классы: 8,9

Признаки и свойства параллелограмма

Условие

В треугольнике ABC медиана AM продолжена за точку M на расстояние, равное AM. Найдите расстояние от полученной точки до вершин B и C, если AB = 4, AC = 5.

Решение

Пусть A1 — точка на продолжении медианы AM за точку M, причём MA1 = AM. Треугольники A1MB и AMC равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому A1B = AC = 5. Аналогично A1C = AB = 4. Ответ: 5 и 4.

Источник: web-сайт http://zadachi.. Система задач по геометрии задача1128

№6 Темы: Удвоение медианы. Сложность:3.

Теорема о сумме квадратов диагоналей Классы: 8,9

Условие

В равнобедренном треугольнике с боковой стороной, равной 4, проведена медиана к боковой стороне. Найдите основание треугольника, если медиана равна 3.

http:///show_document.php?id=1443424Решение

Обозначим через x основание BC равнобедренного треугольника ABC. На продолжении медианы BM за точку M отложим отрезок DM, равный BM. Тогда BADC — параллелограмм. Поэтому

AC2 + BD2 = 2(AB2 + BC2), или 16 + 36 = + 2x2.

Отсюда находим, что x2 = 10.

Ответ $ \sqrt{10}$.

Источник: web-сайт http://zadachi.. Система задач по геометрии задача4012

№7 Темы: Свойства медиан. Центр тяжести треугольника Сложность:3.

Разные задачи на разрезания Свойства частей, Классы: 8,9

полученных при разрезаниях

Условие

Три равных треугольника разрезали по разноимённым медианам (см. рис. 1). Можно ли из получившихся шести треугольников сложить один треугольник?

   

Рис. 1

Решение См. рисунок 2.

Рис. 2

Ответ Можно.

Источник Турнир им. Ломоносова, 2001 год

8 Темы: Удвоение медианы Сложность:3.

Построение треугольников по различным элементам Классы: 8

Вспомогательные равные треугольники

Условие

Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведенной к третьей стороне.

Решение

Если продолжить медиану AE на ее длину за основание E как найти стороны параллелограмма с отношением и соединить полученную точку с вершинами треугольника С и B, то получим параллелограмм ACDB. Рассмотрим треугольник ACD, в котором AC=a, CD=b, AD=2m. Этот треугольник по трем сторонам мы можем построить, затем строим т. E - середину отрезка AD. Продолжим CE за точку E, так что CE=EB. Соединяя B с A, получим искомый треугольник ABC.

9 Темы: Свойства медиан. Сложность:3+

Центр тяжести треугольника. Площадь треугольника Классы: 8,9

Условие

Медианы AN и BM треугольника ABC равны 6 и 9 соответственно и пересекаются в точке K, причём угол AKB равен 30o. Найдите площадь треугольника ABC.


Решение

Поскольку медианы делятся их точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины треугольника, то

AK = $\displaystyle {\textstyle\frac{2}{3”$AN = 4, BK = $\displaystyle {\textstyle\frac{2}{3”$BM = 6.

Поэтому

S$\scriptstyle \Delta$AKB = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2”$BK. AK sin$\displaystyle \angle$AKB = 6.

Следовательно,

S$\scriptstyle \Delta$ABC = 3S$\scriptstyle \Delta$AKB = 18.

Ответ 18.

Источник: web-сайт http://zadachi.. Система задач по геометрии задача 3170

10 Темы: Удвоение медианы. Сложность:3+

Формула Герона Классы: 8,9

Условие

Найдите площадь треугольника, если две стороны его соответственно равны 27 и 29, а медиана, проведённая к третьей, равна 26.

Решение

http:///show_document.php?id=1482920Пусть стороны AB и BC треугольника ABC равны соответственно 27 и 29, а его медиана BM равна 26. На продолжении медианы BM за точку M отложим отрезок MD, равный BM. Из равенства треугольников ABM и CDM (по двум сторонам и углу между ними) следует равенство площадей треугольников ABC и BCD. В треугольнике BCD известно, что

Получить полный текст

Подписаться на рассылку!

BC = 29, BD = 2BM = 52, DC = AB = 27.

По формуле Герона

S$\scriptstyle \Delta$BCD = $\displaystyle \sqrt{54(54-52)(54-29)(54-27)}$= $\displaystyle \sqrt{54\cdot 2\cdot 25\cdot 27}$== 270.

Следовательно, S$\scriptstyle \Delta$ABC = S$\scriptstyle \Delta$BCD = 270.

Ответ 270.

Источник: web-сайт http://zadachi.. Система задач по геометрии задача 2250

№11 Темы: Удвоение медианы. Сложность:3+

Теорема о сумме квадратов диагоналей. Классы: 8,9

Условие Стороны треугольника равны a, b, c. Докажите, что медиана, проведённая к стороне c, равна $ {\frac{1}{2”$$ \sqrt{2a^{2}+2b^{2}-c^{2”$.

http:///show_document.php?id=1443447Решение

Пусть AB = c, BC = a, AC = b — стороны треугольника ABC; CM = m с— медиана треугольника.

На продолжении медианы CM за точку M отложим отрезок MD, равный CM. Тогда ACBD — параллелограмм. Поэтому

CD2 + AB2 = 2(AC2 + BC2), или 4mс 2 + c2 = 2(a2 + b2).

Отсюда находим, что

mс 2 = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4”$(2a2 + 2b2 - c2).

Источник: web-сайт http://zadachi.. Система задач по геометрии задача 4014

№12 Темы: Удвоение медианы. Сложность:3+

Теорема косинусов Классы: 8,9

Условие Определите угол A между сторонами 2 и 4, если медиана, проведённая из вершины A, равна $ \sqrt{7}$.

Решение

На продолжении медианы AM данного треугольника ABC со сторонами AB = 2 и AC = 4 отложим отрезок MD, равный отрезку AM. Тогда четырёхугольник ABDC — параллелограмм, поэтому CD = AB = 2. Применяя теорему косинусов, из треугольника ACD находим, что

http:///show_document.php?id=1417180cos$\displaystyle \angle$ACD = $\displaystyle {\frac{AC^{2}+CD^{2}-AD^{2”{2\cdot AC\cdot CD”$= $\displaystyle {\frac{16+4-4\cdot7}{2\cdot 4\cdot 2”$= - $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2”$,

поэтому $ \angle$ACD = 120o. Следовательно,

$\displaystyle \angle$BAC = 180o - $\displaystyle \angle$ACD = 180o - 120o = 60o.

Ответ 60o.

Источник: web-сайт http://zadachi.. Система задач по геометрии задача 3684

№13 Темы: Удвоение медианы. Сложность:3+

Теорема о сумме квадратов диагоналей. Классы: 8,9

Условие Определите угол A между сторонами треугольника АВС 2 и 4, если медиана, проведённая из вершины A, равна $ \sqrt{3}$.
Подсказка

На продолжении медианы AM данного т отложите отрезок MD, равный отрезку AM.
Ответ 120o.

Источник: web-сайт http://zadachi.. Система задач по геометрии задача 3685

№14 Темы: Удвоение медианы. Сложность:3+

Теорема косинусов. Классы: 8,9

Условие

В треугольнике ABC отрезок AD — медиана, AD = m, AB = a, AC = b. Найдите $ \angle$BAC.

Решение

http:///show_document.php?id=1417298На продолжении медианы AD за точку D отложим отрезок DK, равный AD. Диагонали BC и AK четырёхугольника ACKB делятся точкой пересечения D пополам, значит, ACKB — параллелограмм. Поэтому CK = AB = a.

Применив теорему косинусов к треугольнику ACK, находим, что

cos$\displaystyle \angle$ACK = $\displaystyle {\frac{AC^{2}+CK^{2}-AK^{2”{2\cdot AC\cdot CK”$= $\displaystyle {\frac{b^{2}+a^{2}-4m^{2”{2ba”$.

а т. к. $ \angle$BAC = 180o - $ \angle$ACK, то

cos$\displaystyle \angle$BAC = - cos$\displaystyle \angle$ACK = $\displaystyle {\frac{4m^{2}-a^{2}-b^{2”{2ab”$.

Следовательно, $ \angle$BAC = arccos$ {\frac{4m^{2}-a^{2}-b^{2”{2ab”$.

Ответ arccos$ {\frac{4m^{2}-a^{2}-b^{2”{2ab”$.

Источник: web-сайт http://zadachi.. Система задач по геометрии задача 3805

№15 Темы: Удвоение медианы. Сложность:3+

Треугольник. с углами 60° и 120 Классы: 8,9

Условие

В треугольнике ABC медиана, проведённая из вершины A к стороне BC, в четыре раза меньше стороны AB и образует с ней угол 60°. Найдите угол ВАС.

http:///show_document.php?id=1708915Решение

Продлив медиану АМ на ее длину, получим параллелограмм ABDC (см. рис.). В треугольнике АВD проведем медиану DE, тогда
АЕ = ½ АВ = AD.  Таким образом, треугольник АDЕ – равнобедренный с углом 60°, то есть равносторонний. Следовательно, медиана DE треугольника АВD равна половине стороны АВ, к которой она проведена; значит, этот треугольник – прямоугольный. Тогда
ВАС = ∠ВAD + ∠СAD = ∠ВAD + ∠ADB = 150°.

Ответ 150°.

Источник: Московская математическая регата, 2012/13 г, 8 класс

№16 Темы: Удвоение медианы. Сложность:3+

Площадь треугольника (через высоту и основание) Классы: 8,9

Условие Найдите площадь треугольника, если две его стороны равны 1 и $ \sqrt{15}$, а медиана, проведённая к третьей, равна 2.

http:///show_document.php?id=1441476
Решение

Пусть AA1 — медиана треугольника ABC, AA1 = 2, AB = $ \sqrt{15}$, AC = 1. На продолжении медианы AA1 за точку A1 отложим отрезок A1K, равный AA1. Тогда CABK — параллелограмм, BK = AC = 1.

Треугольник ABK — прямоугольный, т. к. AK2 = AB2 + BK2. Следовательно,

S$\scriptstyle \Delta$ABC = S$\scriptstyle \Delta$ABK = $\displaystyle {\frac{\sqrt{15”{2”$.

Ответ $ {\frac{\sqrt{15”{2”$.


Источник: web-сайт http://zadachi.. Система задач по геометрии задача 1243

№17 Темы: Удвоение медианы. Сложность:3+

Теорема Пифагора (прямая и обратная) Классы: 8,9

Условие Найдите площадь треугольника, две стороны которого равны 6 и 8, а медиана, проведённая к третьей, равна 5.

Подсказка

На продолжении медианы за середину стороны, отложите отрезок, равный медиане.


Ответ 24.

Источник: web-сайт http://zadachi.. Система задач по геометрии задача 1258

№18 Темы: Удвоение медианы. Сложность:3+

Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике Классы: 8,9

Условие В треугольнике ABC известно, что BD — медиана, BD = AB. $ {\frac{\sqrt{3”{4”$, а $ \angle$DBC = 90o. Найдите угол ABD.


Решение

Пусть M — точка на продолжении медианы BD за точку D, причём BD = DM. Тогда ABCM — параллелограмм,

http:///show_document.php?id=1480066MC = ABBM = 2BD = AB. $\displaystyle {\frac{\sqrt{3”{2”$.

Из прямоугольного треугольника MBC находим, что

cos$\displaystyle \angle$BMC = $\displaystyle {\frac{BM}{MC”$= $\displaystyle {\frac{\sqrt{3”{2”$. $\displaystyle {\frac{AB}{AB”$= $\displaystyle {\frac{\sqrt{3”{2”$.

Следовательно, $\displaystyle \angle$BMC = 30o, $\displaystyle \angle$ABD = $\displaystyle \angle$BMC = 30o.

Ответ 30o.


Источник: web-сайт http://zadachi.. Система задач по геометрии задача 2068

Получить полный текст

Подписаться на рассылку!

№19 Темы: Удвоение медианы. Сложность:3+

Теорема о сумме квадратов диагоналей Классы: 8,9

Условие Стороны треугольника равны 11, 13 и 12. Найдите медиану, проведённую к большей стороне.


Решение Пусть AM — медиана прямоугольного треугольника ABC, в котором AB = 12, AC = 11, BC = 13. На продолжении медианы AM за точку M отложим отрезок MK, равный AM. Тогда ABKC — параллелограмм. По теореме о сумме квадратов диагоналей параллелограмма AK2 + BC2 = 2AB2 + 2AC2,

откуда AK2 = 2AB2 + 2AC2 - BC2 = 288 + = 361 = 192.

Следовательно, AM = $ {\frac{1}{2”$AK = $ {\frac{19}{2”$. Ответ $ {\frac{19}{2”$.

Источник: web-сайт http://zadachi.. Система задач по геометрии задача 2651

№20 Темы: Удвоение медианы. Сложность:3+

Теорема о сумме квадратов диагоналей Классы: 8,9

Условие Докажите, что отношение суммы квадратов медиан треугольника к сумме квадратов его сторон равно $ {\frac{3}{4”$.


Решение

Пусть стороны треугольника равны a, b и c. Если m — медиана, проведённая к стороне a, то

m2 = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4”$(2b2 + 2c2 - a2).

Это можно доказать, применив теорему о сумме квадратов диагоналей параллелограмма (предварительно достроив соответствующим образом треугольник до параллелограмма). Аналогично для квадратов остальных двух медиан. Сложив три полученных равенства, получим требуемый результат.


Источник: web-сайт http://zadachi.. Система задач по геометрии задача 4047

№21 Темы: Удвоение медианы. Сложность:3+

Теорема синусов Классы: 8,9

Условие Медиана AM треугольника ABC равна m и образует со сторонами AB и AC углы $ \alpha$и $ \beta$соответственно. Найдите эти стороны.

Решение

На продолжении медианы AM за точку M отложим отрезок MK, равный AM. Тогда четырёхугольник ABKC — параллелограмм, поэтому $ \angle$AKC = $ \angle$BAM = $ \alpha$. По теореме синусов из треугольника ACK находим, что

$\displaystyle {\frac{CK}{\sin \beta”$= $\displaystyle {\frac{AK}{\sin (180^{\circ }- \alpha -\beta)”$,

откуда AB = CK = $\displaystyle {\frac{AK\sin \beta}{\sin (\alpha +\beta)”$= $\displaystyle {\frac{2m\sin \beta}{\sin (\alpha +\beta)”$.

Аналогично находим, что AC = $\displaystyle {\frac{AK\sin \alpha}{\sin (\alpha +\beta)”$= $\displaystyle {\frac{2m\sin \alpha}{\sin (\alpha +\beta)”$.


Ответ $ {\frac{2m\sin \beta}{\sin (\alpha +\beta)”$, $ {\frac{2m\sin \alpha}{\sin (\alpha +\beta)”$.

Источник: web-сайт http://zadachi.. Система задач по геометрии задача 2671

№22 Темы: Удвоение медианы. Сложность:4-

Построение треугольника по различным элементам Классы: 8,9

http:///show_document.php?id=1419204Условие С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведённой к третьей.

Решение

Предположим, что задача решена. Пусть AB и AC — данные стороны, AM — данная медиана. Отложим на продолжении медианы AM за точку M отрезок MP, равный AM. Поскольку четырёхугольник ABPC -- параллелограмм, то PC = AB.

Треугольник APC строим по трём сторонам. Продолжив его медиану CM за точку M на отрезок MB, равный MC, получим вершину B искомого треугольника.

Задача имеет решение, и притом единственное, если возможно построение треугольника, две стороны которого равны данным сторонам, а третья сторона равна удвоенной данной медиане.


Источник: web-сайт http://zadachi.. Система задач по геометрии задача 1209

№23 Темы: Удвоение медианы. Сложность:4-

Признаки и свойства параллелограмма Классы: 8,9

Условие Сережа нарисовал треугольник ABC и провел в нем медиану AD. Затем он сообщил Илье, какова в этом треугольнике длина медианы AD и какова длина стороны AC. Илья, исходя из этих данных, доказал утверждение: угол CAB тупой, а угол DAB острый. Найдите отношение AD/AC (и докажите для любого треугольника с таким отношением утверждение Ильи).

Решение Немного переформулируем задачу. Продлим медиану AD на ее длину за точку D, получим точку D'. Тогда CABD' — параллелограмм (так как диагонали этого четырехугольника делятся пополам их точкой пересечения), откуда угол DAB равен углу DD'C. Поскольку углы CAB и ACD' параллелограмма в сумме дают 180o, условие того, что угол CAB тупой, означает, что угол ACD' острый. В итоге имеем: Илья, зная только длину стороны AD' (она равна удвоенной длине AD ), смог доказать, что в треугольнике CAD' углы при стороне CD' острые. При каком сотношении сторон AC и AD' это возможно?
Ясно, что если треугольник CAD' равнобедренный ( AC=AD'=2AD ), то углы при основании острые (ведь они равны и их сумма меньше 180o ). Значит, ответ AD/AC=1/2 подходит (и мы доказали для этого случая утверждение Ильи).
Если треугольник CAD' неравнобедренный ( AChttp:///show_document.php?id=1668920 AD' ), то например возьмем большую из сторон AC и AD' за гипотенузу, а меньшую — за катет, и построим треугольник CAD', в котором один из углов ACD' или AD'C будет прямым. Достроим теперь параллелограмм CABD' и получим треугольник CAB, который вполне мог оказаться у Сережи, и в этом треугольнике один из углов DAB или CAB будет прямым. Значит Илья не смог бы доказать свое утверждение для AD/AC 1/2.

Ответ Ответ: 1/2.

Источник: Турнир городов,2008/ 2009 г, 8-9 класс

№ 24 Темы: Свойства медиан. Центр тяжести треугольника Сложность:3+

Описанные четырёхугольники Площадь треугольника Классы: 8,9

Условие Окружность касается двух сторон треугольника и двух его медиан. Докажите, что этот треугольник равнобедренный.

Решение

Пусть окружность касается сторон a и b треугольника и проведённых к ним медиан ma и mb. Поскольку суммы противоположных сторон описанного четырёхугольника равны между собой, то

Получить полный текст

Подписаться на рассылку!

$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2”$a + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3”$mb = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2”$b + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3”$ma. (1)

С другой стороны, указанная окружность вписана в равновеликие треугольники (один со сторонами a и mb, второй — b и ma). Поэтому периметры этих треугольников равны, т. е.

a + mb + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2”$b = b + ma + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2”$a,

или

$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2”$a + mb = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2”$b + ma. (2)

Из равенств (1) и (2) следует, что a = b.


Источник: web-сайт http://zadachi.. Система задач по геометрии задача 4863

№25 Темы: Свойства медиан. Центр тяжести треугольника Сложность:4

Равные треугольники. Признаки равенства Классы: 8,9

Условие Докажите равенство треугольников по трём медианам.

Решение

Пусть AM = A1M1, BN = B1N1, CK = C1K1 — медианы треугольников ABC и A1B1C1, а O и O1 — их соответствующие точки пересечения. Тогда

AO = $\displaystyle {\frac23}$AM = $\displaystyle {\frac23}$A1M1 = A1O1,

CO = $\displaystyle {\frac23}$CK = $\displaystyle {\frac23}$C1K1 = C1O1,

ON = $\displaystyle {\frac13}$BN = $\displaystyle {\frac13}$B1N1 = O1N1.

Треугольники AOC и A1O1C1 равны по двум сторонам и медиане, проведённой к третьей. Поэтому AC = A1C1.

Аналогично доказывается равенство других сторон.


Источник: web-сайт http://zadachi.. Система задач по геометрии задача 1048

№26 Темы: Удвоение медианы. Сумма углов Сложность:4

треугольника. Теорема о внешнем угле Классы: 7,8,9

Условие В равнобедренном треугольнике ABC (AB=BC) биссектриса BD в два раза короче биссектрисы AE. Найдите углы треугольника ABC.
 

Ответ 36, 36 и 108 градусов.

№27 Темы: Удвоение медианы. Вспомогательные Сложность:4+

равные треугольники. Классы:8,9

Условие

На двух сторонах треугольника вне его построены квадраты. Докажите, что отрезок, соединяющий концы сторон квадратов, выходящих из одной вершины треугольника, в два раза больше медианы треугольника, выходящей из той же вершины.


Решение

Пусть AP и AQ — указанные стороны квадратов APEB и AQFC, AM — медиана треугольника ABC, $ \angle$BAC = $ \alpha$.

Отложим на продолжении медианы AM за точку M отрезок MK, равный отрезку AM. Тогда

CK = AB = AP, AC = AQ,

$\displaystyle \angle$PAQ = 360o -90o -90o - $\displaystyle \alpha$= 180o - $\displaystyle \alpha$= $\displaystyle \angle$KCA.

Поэтому треугольники ACK и QAP равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, AK = PQ и AM = $ {\frac12}$AK = $ {\frac12}$PQ.

http:///show_document.php?id=1418600
Источник: web-сайт http://zadachi.. Система задач по геометрии задача 1050

№28 Темы: Удвоение медианы. Признаки и свойства Сложность:3

равнобедренного треугольника. Классы:8,9

Условие Биссектриса треугольника является его медианой. Докажите, что треугольник – равнобедренный.

Решение

Пусть AM – биссектриса и одновременно медиана треугольника ABC. На продолжении отрезка AM за точку M отложим отрезок MK, равный AM. Треугольник KMC равен треугольнику AMB по двум сторонам и углу между ними. Значит, CK=AB и AKC = BAK, а т. к. AM – биссектриса угла BAC, то AKC = KAC. Поэтому треугольник AKC – равнобедренный. Следовательно, AC=CK = AB, т. е. треугольник ABC – также равнобедренный.

Источник: web-сайт http://zadachi.. Система задач по геометрии задача 4345

№29 Темы: Удвоение медианы Отношение Сложность:4-

площадей подобных треугольников. Классы: 8,9

Условие Медианы треугольника равны 3, 4 и 5. Найдите площадь треугольника.


Решение

Пусть B1 — середина стороны AC треугольника ABC, M — точка пересечения его медиан. На продолжении медианы BB1 за точку B1 отложим отрезок B1K, равный MB1. Тогда AMCK — параллелограмм, CK = AM.

Стороны треугольника KMC составляют $ {\frac{2}{3”$соответствующих медиан треугольника ABC. Поэтому треугольник KMC подобен треугольнику, стороны которого равны медианам треугольника ABC. Тогда площадь треугольника KMC составляет $ {\frac{4}{9”$площади треугольника со сторонами 3, 4, 5, т. е. $ {\frac{4}{9”$. 6 = $ {\frac{8}{3”$. Следовательно,

S$\scriptstyle \Delta$ABC = 6S$\scriptstyle \Delta$B1MC = 6. $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2”$S$\scriptstyle \Delta$KMC = 8.


Также доступны документы в формате TeX

Ответ 8.


Источник: web-сайт http://zadachi.. Система задач по геометрии задача 3060

№29 Темы: Свойства медиан. Неравенства с медианами Сложность:4 -

Неравенство треугольника Классы: 8,9

Условие Докажите, что в любом треугольнике сумма длин его медиан больше $ {\frac34}$периметра, но меньше периметра.

Решение

Пусть O — точка пересечения медиан AM, BN и CK треугольника ABC. Поскольку

OA + OB > ABOA + OC > ACOB + OC > BC,

то, сложив почленно эти три неравенства, получим, что

2(OA + OB + OC) > AB + BC + AC, или

2$\displaystyle \left(\vphantom{\frac{2}{3}AM + \frac{2}{3}BN + \frac{2}{3}CK}\right.$$\displaystyle {\frac23}$AM + $\displaystyle {\frac23}$BN + $\displaystyle {\frac23}$CK$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{2}{3}AM + \frac{2}{3}BN + \frac{2}{3}CK}\right)$ > AB + BC + AC.

Отсюда следует, что AM + BN + CK > $\displaystyle {\frac34}$(AB + BC + AC).

Отложим на продолжении медианы AM за точку M отрезок MA1, равный AM. Тогда ABA1C — параллелограмм. Поэтому

BA1 = AC, 2AM = AA1 < AB + BA1 = AB + AC.

Отсюда следует, что AM < $ {\frac12}$(AB + BC). Аналогично докажем, что

BN < $\displaystyle {\frac12}$(AB + BC), CK < $\displaystyle {\frac12}$(AC + BC).

Сложив почленно эти три неравенства, получим:

AM + BN + CK < AB + BC + AC.


Источник: web-сайт http://zadachi.. Система задач по геометрии задача 3515

№30 Темы: Свойства медиан. Отношение площадей Сложность:5

треугольников с общим углом Классы: 8,9

Условие Дан треугольник ABC, площадь которого равна 2. На медианах AK, BL и CN треугольника ABC взяты соответственно точки P, Q и R так, что AP : PK = 1, BQ : QL = 1 : 2, CR : RN = 5 : 4. Найдите площадь треугольника PQR.

Решение

Пусть O — точка пересечения медиан треугольника ABC. Тогда $\displaystyle {\frac{AO}{OK”$= $\displaystyle {\frac{BO}{OL”$= $\displaystyle {\frac{CO}{ON”$= 2.

Заметим, что

S$\scriptstyle \Delta$AOB = S$\scriptstyle \Delta$AOC = S$\scriptstyle \Delta$BOC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3”$. S$\scriptstyle \Delta$ABC = $\displaystyle {\textstyle\frac{2}{3”$.

Обозначим AK = 6a, BL = 6b, CN = 9c. Тогда

OP = OA - AP = 4a - 3a = aOQ = OB - BQ = 4b - 2b = 2bOR = 6c - 5c = c.

Получить полный текст

Подписаться на рассылку!

Следовательно,

S$\scriptstyle \Delta$PQR = S$\scriptstyle \Delta$POQ + S$\scriptstyle \Delta$POR + S$\scriptstyle \Delta$ROQ =

= $\displaystyle {\frac{OP}{OA”$. $\displaystyle {\frac{OQ}{OB”$. S$\scriptstyle \Delta$AOB + $\displaystyle {\frac{OP}{OA”$. $\displaystyle {\frac{OR}{OC”$. S$\scriptstyle \Delta$AOC + $\displaystyle {\frac{OR}{OC”$. $\displaystyle {\frac{OQ}{OB”$. S$\scriptstyle \Delta$BOC =

= $\displaystyle {\frac{a}{4a”$. $\displaystyle {\frac{2b}{4b”$. S$\scriptstyle \Delta$AOB + $\displaystyle {\frac{2b}{4b”$. $\displaystyle {\frac{c}{6c”$. S$\scriptstyle \Delta$AOC + $\displaystyle {\frac{c}{6c”$. $\displaystyle {\frac{2b}{4b”$. S$\scriptstyle \Delta$BOC =

= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4”$. $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2”$. S$\scriptstyle \Delta$AOB + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4”$. $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{6”$. S$\scriptstyle \Delta$AOC + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{6”$. $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2”$. S$\scriptstyle \Delta$BOC =

= $\displaystyle {\textstyle\frac{2}{3”$$\displaystyle$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4”$. $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2”$+ $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4”$. $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{6”$+ $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{6”$. $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2”$$\displaystyle= $\displaystyle {\textstyle\frac{2}{3”$$\displaystyle$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{8”$+ $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{24”$+ $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{12”$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{1}{8}+ \frac{1}{24}+ \frac{1}{12”\right)$= $\displaystyle {\textstyle\frac{2}{3”$. $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4”$= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{6”$.


Ответ $ {\frac{1}{6”$.

Источник: web-сайт http://zadachi.. Система задач по геометрии задача 3829

№31 Темы: Удвоение медианы. Неравенства с площадями Сложность:5

Средняя линия трапеции Отношение площадей Классы: 8,9,10

Условие В треугольнике ABC точка D – середина стороны AB. Можно ли так расположить точки E и F на сторонах AC и BC соответственно, чтобы площадь треугольника DEF оказалась больше суммы площадей треугольников AED и BFD?

Решение
Рассмотрим произвольный треугольник АВС с точками E и F на сторонах АС и ВС. Пусть С' – образ точки С, а F' – образ точки F при симметрии с центром в точке D (см. рис. 11.5.1). Тогда четырехугольник ACBС' – параллелограмм, а точка F' лежит на его стороне АС'. Так как ЕАF' = ЕАB + BAF' = CАB + CBA < 180o, то четырехугольник AEDF' – выпуклый (это следует также из того, что ЕАF – угол параллелограмма).
Треугольники AF'D и BFD равны, значит, SAEDF'=SAED+SAF'D= SAED+SBFD. Кроме того, так как D – середина отрезка FF', то SDEF=SDEF'. Так как SAEDF'>SDEF', то SAED+SBFD>SDEF, следовательно, указанным образом расположить точки невозможно.

так расположить точки нельзя.

Источник: Окружная олимпиада (Москва), 2008 г, 11 класс

№32 Темы: Удвоение медианы. Ортоцентр и ортотреугольник Сложность:5 + Три точки, лежащие на одной прямой Подобные треугольники Классы: 9,10

Условие

В неравнобедренном треугольнике ABC точки H и M – точки пересечения высот и медиан соответственно. Через вершины A, B и C проведены прямые, перпендикулярные прямым AM, BM, CM соответственно. Докажите, что точка пересечения медиан треугольника, образованного проведенными прямыми, лежит на прямой MH.

Решение

Пусть A'B'C' – треугольник, образованный

проведенными прямыми и G – точка пересечения его

медиан. Мы докажем, что M является серединой отрезка GH. Достроим треугольник BMC до параллелограмма BMCA1. Отрезок MA1 делит сторону BC пополам, поэтому A1 лежит на прямой AM, причем AM = A1M (поскольку точка M делит медиану в отношении 2:1 ). Кроме того, BA1|| MC A'B' и CA1|| MB A'C', поэтому BA1 и CA1 – высоты треугольника BA'C, значит A1 является ортоцентром треугольника BA'C, и

A'A1 BC. Стороны треугольника BA1M перпендикулярны

сторонам треугольника A'B'C' соответственно, поэтому эти треугольники подобны, причем соответствующие прямые BC и

AG, содержащие медианы этих треугольников,

перпендикулярны. Значит, прямая A'G совпадает с прямой A'A1. Пусть G' – точка, симметричная точке H относительно M. Треугольники AHM и A1G'M симметричны относительно M, поэтому A1G'|| AH BC. Отсюда следует, что G' лежит на прямой A'G. Аналогично, получаем, что G' лежит на прямой B'G, то есть G' совпадает с G.

Источник: Всероссийская олимпиада по математике, 2008 г, 9 класс

Отрабатываем умение: самостоятельно решать задачи.

Свойства медианы. Площадь треугольника

1. В треугольнике АВС медиана АМ перпендикулярна медиане BN. Найдите площадь треугольника АВС, если длина АМ равна 3, а длина BN равна 4.

О т в е т: 8.

2. Основание равнобедренного треугольника равно 2. Медианы, проведенные к боковым сторонам, взаимно перпендикулярны. Найдите площадь треугольника.

О т в е т: 3.

3. Две медианы равнобедренного треугольника взаимно перпендикулярны. Боковая сторона равна . Найдите площадь треугольника.

О т в е т: 3.

4. В треугольнике АВС медианы АD и ВE перпендикулярны, , . Чему равен квадрат третьей стороны?

О т в е т: 5.

5. Сторона треугольника равна 20, а медианы, проведенные к двум другим сторонам – 24 и 18. Найдите площадь треугольника.

О т в е т: 288.

6. Стороны треугольника равны 13, 14 и 15. Найти площади треугольников, на которые разбивается данный треугольник его медианами.

О т в е т: 14.

7. Площадь треугольника АВС равна 12. Из вершины тупого угла В проведена медиана BD, длина которой равна 3. Найдите длину стороны АС, если угол ABD – прямой.

О т в е т: 10.

8. Найдите площадь треугольника, если две его стороны равны 1 и , а медиана третьей стороны равна 2. (Указание – достроить до параллелограмма).

О т в е т: .

Длина медианы

1. Одна сторона треугольника равна а, другая – b. Найдите третью сторону, если известно, что она равна медиане, проведенной к ней.

О т в е т: .

2. Основание равнобедренного треугольника , медиана боковой стороны 5. Найдите длины боковых сторон.

О т в е т: 6.

3. В равнобедренном треугольнике основание равно , а угол при основании равен 300. Найдите длину медианы, проведенной к боковой стороне.

О т в е т: 7.

4. Медианы треугольника равны 5, и . Докажите, что треугольник прямоугольный.

5. Числа , и выражают длины медиан некоторого треугольника. Докажите, что если выполняется равенство , то треугольник является прямоугольным.

Медиана, проведенная к гипотенузе

1. Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна 3 см и делит прямой угол в отношении 2:1. Найдите меньший катет.

О т в е т: 3.

2. АА1, ВВ1, СС1 – медианы треугольника АВС. . Найдите .

О т в е т: 1,5.

3. Медианы треугольника АВС АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в точке О. .см. см. Найдите ВО.

О т в е т: 10.

4. Гипотенуза прямоугольного треугольника в 4 раза больше проведенной к ней высоты. Найдите острые углы треугольника.

О т в е т: 150; 750.

5. В трапеции ABCD углы при основании AD равны 200 и 700, длина отрезка, соединяющего середины оснований, равна 3. Найдите длину отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции.

О т в е т: 3.

Используемые источники

· ,,, Ленинградские математические кружки

· , Задачи по планиметрии, Издательство МЦНМО, 2001г

·  интернет сайт http://zadachi. Задачи по геометрии

·  Всероссийская олимпиада по математике, 2008 год,

·  Турнир им. Ломоносова, 2001 год

·  Московская математическая регата, 2012/13 г, 8 класс


Источник: http://pandia.ru/text/79/216/60203.php

Поделись с друзьями



Рекомендуем посмотреть ещё:


Закрыть ... [X]

Задачник по математике. КВАНТ Значение тату карта с черепом

Как найти стороны параллелограмма с отношением Пособие к СНиП II-22-81 - t
Как найти стороны параллелограмма с отношением Le Cosm - профессиональная косметика из Израиля
Как найти стороны параллелограмма с отношением Tenga (тенга) мастурбаторы купить, Tenga Flip Hole Black and
Как найти стороны параллелограмма с отношением Бумажные человечки своими руками
Как найти стороны параллелограмма с отношением Взаимосвязь в работе учителя-логопеда и
Как найти стороны параллелограмма с отношением Гиалуроновая кислота в каких продуктах содержится?
Здоровое питание, очищение и омоложение организма Игры раскраски онлайн - Детские раскраски для девочек и мальчиков Как жить после того, как вас разлюбили и бросили? Блог Как правильно наносить шеллак в домашних условиях пошагово Кардиганы 2017 спицами модные вязанные - новинки с

ШОКИРУЮЩИЕ НОВОСТИ